Вероятността да се хвърли пълна къща в Yahtzee?

Играта на Yahtzee включва използването на пет стандартни зарчета. На всеки завой играчите получават три ролки. След всяко хвърляне може да се държи произволен брой зарове, като целта е да се получат конкретни комбинации от тези зарчета. Всяка различна комбинация струва различен брой точки.

Една от тези видове комбинации се нарича фул хаус. Подобно на пълна къща в играта на покер, тази комбинация включва три от определено число, заедно с двойка с различно число. Тъй като Yahtzee включва случайно валцуване на зарове, тази игра може да се анализира, като се използва вероятността да се определи колко е вероятно да се търкаля пълна къща в една ролка.

Ще започнем, като изложим нашите предположения. Предполагаме, че използваните зарчета са справедливи и независими една от друга. Това означава, че имаме равномерно пространство за проби, състоящо се от всички възможни ролки от петте зарчета. Въпреки че играта на Yahtzee позволява три ролки, ние ще разгледаме само случая, когато получаваме пълна къща в едно руло.

Тъй като ние работим с a униформапримерно пространство, изчисляването на нашата вероятност се превръща в изчисление на няколко проблема с броенето. Вероятността за пълна къща е броят на начините за завъртане на пълна къща, разделен на броя на резултатите в извадковото пространство.

Броят на резултатите в извадковото пространство е ясен. Тъй като има пет зарчета и всяка от тях може да има един от шест различни резултата, броят на резултатите в пробното пространство е 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

На следващо място, ние изчисляваме броя на начините за свиване на пълна къща. Това е по-труден проблем. За да имаме пълна къща се нуждаем от три от един вид зарчета, последвани от чифт различен тип зарчета. Ще разделим този проблем на две части:

• Какъв е броят на различните видове пълни къщи, които биха могли да бъдат превърнати?
• Какъв е броят начините, по които даден тип пълна къща може да бъде превърнат?

След като узнаем числото на всеки от тях, можем да ги умножим заедно, за да ни даде общия брой пълни къщи, които могат да бъдат разгърнати.

Започваме с разглеждане на броя на различните видове пълни къщи, които могат да се търкалят. Всяко от числата 1, 2, 3, 4, 5 или 6 може да се използва за трите вида. Има пет оставащи числа за двойката. По този начин има 6 x 5 = 30 различни типа комбинации от пълни къщи, които могат да се търкалят.

Например, бихме могли да имаме 5, 5, 5, 2, 2 като един вид пълна къща. Друг вид пълна къща ще бъде 4, 4, 4, 1, 1. Друг все пак би бил 1, 1, 4, 4, 4, което е различно от предходния пълен дом, тъй като ролите на четворките и тези са сменени.

Сега определяме различния брой начини за завъртане на определена пълна къща. Например, всяко от следващите ни дава една и съща пълна къща от три четворки и две:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Виждаме, че има най-малко пет начина да завъртите определена пълна къща. Има ли други? Дори ако продължаваме да изброяваме други възможности, как да разберем, че сме ги намерили?

Ключът към отговора на тези въпроси е да осъзнаем, че имаме работа с броенето на проблема и да определим с какъв тип броене работим. Има пет позиции и три от тях трябва да бъдат запълнени с четири. Редът, в който поставяме четворките си, няма значение, докато са запълнени точните позиции. След като се определи положението на четворките, поставянето на тези става автоматично. Поради тези причини трябва да вземем предвид съчетание от пет позиции, заети три наведнъж.

Използваме комбинираната формула за получаване ° С(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Това означава, че има 10 различни начина да завъртите дадена пълна къща.

Събирайки всичко това заедно, ние имаме своя брой пълни къщи. Има 10 х 30 = 300 начина за получаване на пълна къща в една ролка.

Сега на вероятност за пълна къща е просто изчисление на разделението. Тъй като има 300 начина да се превърне пълна къща в една ролка и има 7776 възможни ролки с пет зарчета, вероятността да завъртите пълна къща е 300/7776, което е близо до 1/26 и 3,85%. Това е 50 пъти по-вероятно, отколкото да търкаляте Yahtzee в една ролка.

Разбира се, много вероятно е първата ролка да не е пълна къща. Ако случаят е такъв, тогава ни позволяват още две ролки, които правят пълна къща много по-голяма вероятност. Вероятността за това е много по-сложно да се определи поради всички възможни ситуации, които би трябвало да бъдат разгледани.