Вариантът на разпределението на произволна променлива е важна характеристика. Това число показва разпространението на дадено разпределение и то се открива чрез преброяване на стандартно отклонение. Един често използван дискретен разпределение е тази на разпределението на Poisson. Ще видим как да изчислим дисперсията на разпределението на Поасон с параметър λ.
Разпределението на Poisson
Разпределенията на Poisson се използват, когато имаме някакъв континуум и броим дискретни промени в този континуум. Това се случва, когато вземем предвид броя на хората, които пристигат на брояч на билети за филм в продължение на час, следете броят на автомобилите, пътуващи през кръстовище с четирипосочно спиране, или броя на недостатъците, възникнали по дължина тел.
Ако направим няколко изясняващи предположения в тези сценарии, тогава тези ситуации съответстват на условията за процес на Поасон. След това казваме, че случайната променлива, която отчита броя на промените, има разпределение на Poisson.
Разпределението на Poisson всъщност се отнася до безкрайно семейство от разпределения. Тези дистрибуции са оборудвани с един параметър λ. Параметърът е положителен
реално число това е тясно свързано с очаквания брой промени, наблюдавани в континуума. Освен това ще видим, че този параметър е равен не само на означава на разпределението, но също така и дисперсията на разпределението.Функцията на вероятностната маса за разпределение на Поасон се дава от:
е(х) = (λхд-λ)/х!
В този израз буквата д е число и е математическата константа със стойност, приблизително равна на 2,718281828. Променливата х може да бъде всяко неотрицателно цяло число.
Изчисляване на вариацията
За да изчислим средната стойност на разпределение на Поасон, използваме тази на разпределението функция за генериране на момент. Виждаме това:
М( T ) = E [дTX] = Σ дTXе( х) = ΣдTX λхд-λ)/х!
Сега си припомняме серията Maclaurin за дф. Тъй като производно на функцията дф е дф, всички тези производни, оценени на нула, ни дават 1. Резултатът е серията дф = Σ фн/н!.
Чрез използването на серията Maclaurin за дф, можем да изразим функцията за генериране на момента не като серия, а в затворена форма. Ние комбинираме всички термини с показателя на х. Поради това М(T) = дλ(дt - 1).
Сега намираме вариацията, като вземаме второто производно на М и оценявайки това на нула. От М’(T) =λдTМ(T), използваме правилото за продукта, за да изчислим второто производно:
М’’(T)=λ2д2TМ’(T) + λдTМ(T)
Ние оценяваме това на нула и намираме това М’’(0) = λ2 + λ. Тогава използваме факта, че М'(0) = λ за изчисляване на дисперсията.
Var (х) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Това показва, че параметърът λ е не само средната стойност на разпределението на Poisson, но е и неговата дисперсия.