Интервал на доверие за разликата между две пропорции на населението

Интервали на увереност са една част от инфекциозна статистика. Основната идея зад тази тема е да се оцени стойността на неизвестно население параметър чрез използване на статистическа извадка. Ние можем не само да оценим стойността на параметър, но също така можем да адаптираме нашите методи, за да оценим разликата между два свързани параметъра. Например може да искаме да намерим разликата в процента на мъжкото население с право на глас, което подкрепя определен законодателен акт в сравнение с жените с право на глас.

Ще видим как да направите този вид изчисление, като построим интервал на доверие за разликата от две пропорции на популацията. В процеса ще разгледаме част от теорията, която стои зад това изчисление. Ще видим някои прилики в това как конструираме a интервал на доверие за единична част от населението както и а интервал на доверие за разликата между две популационни средства.

Преди да разгледаме конкретната формула, която ще използваме, нека разгледаме цялостната рамка, в която се вписва този тип интервал на доверие. Формата на типа интервал на доверие, който ще разгледаме, е дадена със следната формула:

Изчислете +/- граница на грешка

Много доверени интервали са от този тип. Има две числа, които трябва да изчислим. Първата от тези стойности е оценката за параметъра. Втората стойност е границата на грешката. Тази граница на грешки обяснява факта, че имаме оценка. Интервалът на доверие ни предоставя диапазон от възможни стойности за неизвестния ни параметър.

Трябва да сме сигурни, че всички условия са изпълнени, преди да правим някакво изчисление. За да намерим интервал на доверие за разликата от две пропорции на популацията, трябва да сме сигурни, че следното е налице:

• Имаме две прости случайни проби от големи популации. Тук "голям" означава, че популацията е поне 20 пъти по-голяма от размера на извадката. Размерите на пробите ще бъдат обозначени с н₁ и н₂.
• Нашите индивиди са избрани независимо един от друг.
• Във всяка от нашите проби има поне десет успеха и десет провала.

Ако последният елемент от списъка не е удовлетворен, може да има начин за това. Можем да модифицираме плюс четири интервала на доверие изграждане и получаване стабилни резултати. Докато вървим напред, приемаме, че всички горепосочени условия са изпълнени.

Сега сме готови да изградим нашия интервал на доверие. Започваме с оценката за разликата между нашите пропорции. И двете от тези съотношения на населението се оценяват чрез примерна част. Тези пропорционални пропорции са статистически данни, които се откриват чрез разделяне на броя успехи във всяка извадка и след това разделяне на съответния размер на извадката.

Първата част от населението се обозначава с р₁. Ако броят на успехите в нашата извадка от тази популация е к₁, тогава имаме примерна част от к₁ / н_1.

Ние обозначаваме тази статистика с p̂₁. Ние четем този символ като „п₁-както „защото изглежда като символа p₁ с шапка отгоре.

По подобен начин можем да изчислим примерна пропорция от втората ни съвкупност. Параметърът от тази популация е р₂. Ако броят на успехите в нашата извадка от тази популация е к₂, а нашата примерна пропорция е p̂₂ = k₂ / н_2.

Тези две статистики стават първата част от нашия доверителен интервал. Прогнозата за р₁ интернет доставчик₁. Прогнозата за р₂ интернет доставчик_2. Така че оценката за разликата р₁ - р₂ интернет доставчик₁ - п̂_2.

След това трябва да получим формулата за допустимата грешка. За да направите това, първо ще разгледаме разпределение на извадката от p̂₁ . Това е биномиално разпределение с вероятност за успех р₁ и н₁ изпитвания. Средната стойност на това разпределение е пропорцията р₁. Стандартното отклонение на този тип случайна променлива има отклонение от р₁ (1 - р₁ )/н₁.

Разпределението на извадката на p̂₂ е подобно на това на p̂₁ . Просто променете всички индекси от 1 на 2 и имаме биномиално разпределение със средна стойност на p₂ и вариация на р₂ (1 - р₂ )/н₂.

Сега имаме нужда от няколко резултата от математическата статистика, за да определим разпределението на извадката на p̂₁ - п̂₂. Средното на това разпределение е р₁ - р₂. Поради факта, че дисперсиите се събират, виждаме, че е дисперсията на разпределението на извадката р₁ (1 - р₁ )/н₁ + р₂ (1 - р₂ )/н_2. Стандартното отклонение на разпределението е квадратният корен на тази формула.

Има няколко корекции, които трябва да направим. Първият е, че формулата за стандартното отклонение на p̂₁ - п̂₂ използва неизвестните параметри на р₁ и р₂. Разбира се, ако наистина знаехме тези стойности, тогава изобщо няма да е интересен статистически проблем. Няма да е необходимо да оценяваме разликата между р₁ и р_2.. Вместо това можем просто да изчислим точната разлика.

Този проблем може да бъде отстранен чрез изчисляване на стандартна грешка, а не стандартно отклонение. Всичко, което трябва да направим, е да заместим пропорциите на населението с пропорционални пропорции. Стандартните грешки се изчисляват на базата на статистически данни вместо на параметри. Стандартна грешка е полезна, тъй като тя ефективно оценява стандартно отклонение. Това означава за нас е, че вече не е необходимо да знаем стойността на параметрите р₁ и р₂. .Тъй като тези пробни пропорции са известни, стандартната грешка се дава от квадратния корен на следния израз:

р₁ (1 - p̂₁ )/н₁ + p̂₂ (1 - p̂₂ )/н_2.

Вторият елемент, който трябва да обърнем внимание, е конкретната форма на нашето разпределение на извадката. Оказва се, че можем да използваме нормално разпределение за приблизително разпределение на извадката на p̂₁ - п̂₂. Причината за това е донякъде техническа, но е очертана в следващия параграф.

И двете p̂₁ и p̂₂ имат разпределение на извадката, което е биномиално. Всяко от тези биномиални разпределения може да се сближи доста добре чрез нормално разпределение. Така p̂₁ - п̂₂ е произволна променлива. Образува се като линейна комбинация от две случайни променливи. Всяко от тях се апроксимира чрез нормално разпределение. Следователно разпределението на извадката на p̂₁ - п̂₂ също е нормално разпределен.

Сега имаме всичко необходимо, за да съставим интервала си на доверие. Оценката е (p̂₁ - п̂₂) и границата на грешката е Z * [р₁ (1 - p̂₁ )/н₁ + p̂₂ (1 - p̂₂ )/н_2.]^0.5. Стойността, за която въвеждаме Z * е продиктувано от нивото на увереност ° С. Често използвани стойности за Z * са 1.645 за 90% доверие и 1.96 за 95% доверие. Тези стойности за Z * означава частта от стандартното нормално разпределение, където точно ° С процент от разпределението е между -Z * и Z *.

Следващата формула ни дава интервал на доверие за разликата от две пропорции на популацията:

(р₁ - п̂₂) +/- Z * [р₁ (1 - p̂₁ )/н₁ + p̂₂ (1 - p̂₂ )/н_2.]^0.5