Каква е очакваната стойност на вероятността?

Вие сте на карнавал и виждате игра. За 2 долара преобръщате стандартна шестстранна матрица. Ако показаното число е шест, печелите 10 долара, в противен случай не печелите нищо. Ако се опитвате да печелите пари, интересно ли ви е да играете играта? За да отговорим на подобен въпрос, се нуждаем от концепцията за очакваната стойност.

Очакваната стойност наистина може да се мисли като средна стойност на произволна променлива. Това означава, че ако сте провеждали експеримент с вероятност отново и отново, като следите резултатите, очакваната стойност е средно аритметично от всички получени стойности. Очакваната стойност е това, което трябва да очаквате да се случи в дългосрочен план на много изпитания на игра на късмет.

Споменатата по-горе карнавална игра е пример за дискретна случайна променлива. Променливата не е непрекъсната и всеки резултат идва при нас в число, което може да бъде отделено от другите. За да намерите очакваната стойност на игра, която има резултати х₁, х₂,..., х_н с вероятности р₁, р₂,... , р_н, изчисли:

х₁р₁ + х₂р₂ +... + х_нр_н.

За играта по-горе имате 5/6 вероятност да не спечелите нищо. Стойността на този резултат е -2, тъй като сте похарчили $ 2 за игра. Шестимата има 1/6 вероятност да се покаже, а тази стойност има резултат 8. Защо 8, а не 10? Отново трябва да отчитаме $ 2, които сме платили да играем, и 10 - 2 = 8.

Сега включете тези стойности и вероятности в очакваните стойностна формула и завършват с: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Това означава, че в дългосрочен план трябва да очаквате да загубите средно около 33 цента всеки път, когато играете тази игра. Да, понякога ще спечелите. Но ще губите по-често.

Сега да предположим, че карнавалната игра е променена леко. За същата входна такса от $ 2, ако показаното число е шест, тогава печелите $ 12, в противен случай не печелите нищо. Очакваната стойност на тази игра е -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. В дългосрочен план няма да загубите пари, но няма да спечелите никакви. Не очаквайте да видите игра с тези номера на местния карнавал. Ако в дългосрочен план няма да загубите никакви пари, тогава карнавалът няма да направи.

Сега се обърнете към казиното. По същия начин, както преди, можем да изчислим очакваната стойност на хазартните игри като рулетка. В САЩ колело за рулетка има 38 номерирани слота от 1 до 36, 0 и 00. Половината от 1-36 са червени, половината са черни. И 0, и 00 са зелени. Топка каца на случаен принцип в един от слотовете и залозите се правят къде ще кацне топката.

Един от най-простите залози е да заложите на червено. Тук ако заложите $ 1 и топката кацне на червено число в колелото, тогава ще спечелите $ 2. Ако топката кацне на черно или зелено пространство в колелото, тогава не печелите нищо. Каква е очакваната стойност на залог като този? Тъй като има 18 червени пространства, има вероятност 18/38 да спечелите, с нетна печалба от $ 1. Има 20/38 вероятност да загубите първоначалния си залог от $ 1. Очакваната стойност на този залог в рулетка е 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, което е около 5,3 цента. Тук къщата има лек ръб (както при всички казино игри).

Като друг пример, помислете за a лотария. Въпреки че милиони могат да бъдат спечелени за цената на билет от 1 долар, очакваната стойност на лотарийната игра показва колко несправедливо е конструирана. Да предположим, че за 1 долар избирате шест числа от 1 до 48. Вероятността да изберете правилно всичките шест числа е 1 / 12,271,512. Ако спечелите 1 милион долара за получаване на всичките шест правилни, каква е очакваната стойност на тази лотария? Възможните стойности са - $ 1 за загуба и $ 999 999 за печалба (отново трябва да отчитаме разходите за игра и да я извадим от печалбите). Това ни дава очаквана стойност на:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Така че, ако трябваше да играете лотарията отново и отново, в дългосрочен план губите около 92 цента - почти цялата цена на билета си - всеки път, когато играете.

Всички по-горе примери изглеждат дискретно случайна величина. Възможно е обаче да се определи очакваната стойност и за непрекъсната случайна променлива. Всичко, което трябва да направим в този случай, е да заместим сумираното в нашата формула с интеграл.

Важно е да запомните, че очакваната стойност е средната след много опити на a случаен процес. В краткосрочен план средната стойност на произволна променлива може да варира значително от очакваната стойност.