Каква е разликата на два комплекта в теорията на множествата?

Разликата на два набора, написани А - B е съвкупността от всички елементи на А които не са елементи на B. Различната операция, заедно с обединението и пресичането, е важна и основна операция на теорията на множествата.

Изваждането на едно число от друго може да се мисли по много различни начини. Един модел, който да помогне за разбирането на тази концепция, се нарича модел на изнасяне на изваждане. В този случай проблемът 5 - 2 = 3 ще бъде демонстриран като се започне с пет обекта, премахване на два от тях и преброяване, че са останали три. По подобен начин, по който откриваме разликата между две числа, можем да открием разликата на две множества.

Ще разгледаме пример за зададената разлика. За да видите как разликата на две комплекти образува нов набор, нека разгледаме множествата А = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. За да откриете разликата А - B от тези два набора започваме с писането на всички елементи на Аи след това отнемете всеки елемент от А това също е елемент на

Точно както разликите 4 - 7 и 7 - 4 ни дават различни отговори, ние трябва да внимаваме за реда, в който изчисляваме зададената разлика. За да използваме технически термин от математиката, бихме казали, че зададената операция на разликата не е комутативна. Това означава, че по принцип не можем да променим реда на разликата от два множества и да очакваме един и същ резултат. По-точно можем да заявим, че за всички групи А и B, А - B не е равно на B - А.

За да видите това, обърнете се към горния пример. Изчислихме това за множествата А = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, разликата А - B = {1, 2 }. За да сравним това с B - А, започваме с елементите на B, които са 3, 4, 5, 6, 7, 8 и след това премахнете 3, 4 и 5, защото те са общи А. Резултатът е B - А = {6, 7, 8 }. Този пример ясно ни показва това А - Б не е равно на Б - А.

Един вид разлика е достатъчно важна, за да гарантира своето специално име и символ. Това се нарича допълнение и се използва за зададената разлика, когато първи комплект е универсалният комплект. Допълнението на А се дава от израза U - А. Това се отнася до множеството от всички елементи в универсалния набор, които не са елементи на А. Тъй като се разбира, че набор от елементи от които можем да избираме са взети от универсалния набор, можем просто да кажем, че допълването на А е набор, състоящ се от елементи, които не са елементи на А.

Допълнението на един набор е относително към универсалния набор, с който работим. с А = {1, 2, 3} и U = {1, 2, 3, 4, 5}, допълнението на А е {4, 5}. Ако универсалният ни комплект е различен, кажете U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, тогава допълнението на А {-3, -2, -1, 0}. Винаги обърнете внимание на това какъв универсален комплект се използва.

Думата "допълнение" започва с буквата С и затова това се използва в нотацията. Допълнението на комплекта А е написано като А^{° С}. Така че можем да изразим определението на комплемента в символи като: А^{° С} = U - А.

Друг начин, който обикновено се използва за обозначаване на комплемента от набор, включва апостроф и се пише като А'.

Има много зададени идентичности, които включват използването на операциите за разлика и допълване. Някои идентичности комбинират други зададени операции, като например пресичане и съюз. Няколко от по-важните са посочени по-долу. За всички комплекти А, и B и д ние имаме:

• А - А =∅
• А - ∅ = А
• ∅ - А = ∅
• А - U = ∅
• (А^{° С})^{° С} = А
• Законът на DeMorgan I: (А ∩ B)^{° С} = А^{° С} ∪ B^{° С}
• Законът на DeMorgan II: (А ∪ B)^{° С} = А^{° С} ∩ B^{° С}